Cara menghitung luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor

Pada dua vektor noncollinear dan bukan nol, sebuah jajar genjang dapat dibangun. Kedua vektor ini akan berkontraksi dengan jajar genjang jika Anda menggabungkan asalnya pada satu titik. Selesaikan sisi gambar.

Instruksi manual

1

Tentukan panjang vektor jika koordinatnya diberikan. Misalnya, vektor A memiliki koordinat (a1, a2) dalam bidang. Maka panjang vektor A adalah | A | = √ (a1² + a2²). Demikian pula, kami menemukan modul vektor B: | B | = √ (b1² + b2²), di mana b1 dan b2 adalah koordinat vektor B di pesawat.

2

Area jajaran genjang ditemukan dengan rumus S = | A | • | B | • sin (A ^ B), di mana A ^ B adalah sudut antara vektor A dan B. yang diberikan sinus dapat ditemukan melalui cosinus menggunakan identitas trigonometri utama: sin²α + cos²α = 1. Kosinus dapat dinyatakan dalam bentuk produk skalar vektor yang ditulis dalam koordinat.

3

Produk skalar dari vektor A oleh vektor B dilambangkan dengan (A, B). Menurut definisi, itu sama dengan (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). Dan dalam koordinat, produk skalar ditulis seperti ini: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. Dari sini kita dapat mengekspresikan cosinus sudut antara vektor: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + b2²). Dalam pembilang, produk skalar, dalam penyebut, panjang vektor.

4

Sekarang kita dapat mengekspresikan sinus dari identitas trigonometri utama: sin²α = 1-cos²α, sinα = ± √ (1-cos²α). Jika kita mengasumsikan bahwa sudut α antara vektor adalah akut, minus dengan sinus dapat dibuang, hanya menyisakan tanda plus, karena sinus sudut akut hanya dapat positif (atau nol pada sudut nol, tetapi di sini sudutnya bukan nol, ini ditampilkan dalam kondisi noncollinearity dari vektor).

5

Sekarang kita perlu mengganti ekspresi koordinat untuk cosinus dalam rumus sinus. Setelah ini, tinggal menulis hasilnya dalam rumus area jajar genjang. Jika semua ini dilakukan dan ekspresi numerik disederhanakan, maka ternyata S = a1 • b2-a2 • b1. Jadi, area jajaran genjang yang dibangun pada vektor A (a1, a2) dan B (b1, b2) ditemukan dengan rumus S = a1 • b2-a2 • b1.

6

Ekspresi yang dihasilkan adalah penentu matriks yang terdiri dari koordinat vektor A dan B: a1 a2b1 b2.

7

Memang, untuk mendapatkan penentu matriks dimensi dua, kita perlu melipatgandakan elemen-elemen diagonal utama (a1, b2) dan mengurangi dari ini produk dari elemen-elemen dari sisi diagonal (a2, b1).